小學(xué)生算術(shù)題??紛爭(zhēng)第四彈??

家里聚餐前又又又開(kāi)始了小學(xué)生數(shù)學(xué)題的紛爭(zhēng)，這次是道圖形題，號(hào)稱(chēng)做出來(lái)的小朋友將來(lái)大概率上 985 沒(méi)問(wèn)題。我試了下，可恥地失敗了。

陰影部分面積相等

吃完飯，喝完酒，送走客，不甘心，用解析幾何解了下，居然這么簡(jiǎn)單??????。以前小學(xué)生數(shù)學(xué)題頂多動(dòng)員方程就搞定了，這次居然讓我動(dòng)用了解析幾何??。關(guān)鍵在于，為什么我沒(méi)有看到那些關(guān)聯(lián)？是什么限制了我的搜索空間？為什么那些關(guān)鍵一招在高階工具面前（方程組、解析幾何）無(wú)所遁形？如果我是小朋友，我應(yīng)該如何復(fù)盤(pán)？

復(fù)盤(pán)開(kāi)始：我一開(kāi)始就著手去找各塊圖形面積之間的關(guān)系，但怎么也找不到面積和線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系。一度想先構(gòu)建扇頂公式，后面發(fā)現(xiàn)過(guò)于復(fù)雜，放棄了。甚至動(dòng)用了動(dòng)態(tài)視野，想構(gòu)建一個(gè)普適的關(guān)于同心圓逐漸分離的面積函數(shù)…… 卻始終沒(méi)有想到著眼線段構(gòu)成去尋找聯(lián)系。

由此可見(jiàn)，首先，我對(duì)目標(biāo)定義不清晰。人要找的是線段長(zhǎng)度，我一開(kāi)始就奔著面積去，只∵求面積比較熟悉。結(jié)果在熟悉的錯(cuò)誤方向上越走越遠(yuǎn)。當(dāng)然，如果我功底夠厚實(shí)，這條路應(yīng)該也是可以走通的。

其次，對(duì)目標(biāo)選段的枚舉不完全。當(dāng)前劃分解不出來(lái)，就應(yīng)該繼續(xù)細(xì)分??！

∴，結(jié)論是：把 Mathematica & \LaTeX 撿起來(lái)，實(shí)現(xiàn)快速解決問(wèn)題 & 快速記錄。掌握了高等工具，再讓我退回去，是不可能的啦。先用高等工具解決，再尋找小朋友能夠理解的方式講解。

\begin{cases} S_A + S_C = \frac{1}{4} \pi r^2 \\ S_B + S_C = l \cdot r - \frac{1}{4} \pi r^2 \end{cases}

得到 l 和 r 的約束條件：

S_A - S_B = (\frac{\pi r}{2} - l) \cdot r

太神奇了，單求 S_A 或 S_B 都不容易，但這兩個(gè)異形的面積差居然是個(gè)線性函數(shù)??。而我就是在這之后誤入歧途，想要通過(guò)求 S_A 去尋得 x 。 S_A(x) 有多復(fù)雜呢？我還真算了下：

扇頂面積公式

\begin{cases} S_A(h) = \arccos(\frac{r - h}{r}) \cdot r^2 - \sqrt{h(2r - h)} \cdot (r - h) \\ x = 2 h \end{cases}

可 S_A 是和 S_C 綁定的，難道再去求出 S_C ？繞太遠(yuǎn)了（除非我能迅速找到計(jì)算 S_B 或 S_C 的另一種方法（積分？成本??太高??））。我總在試圖建立面積與線段長(zhǎng)度之間的聯(lián)系。但回頭看，面積之間的關(guān)系僅僅是給出了 l 和 r 之間的約束條件：

∵ S_A = S_B ∴ l = \frac{\pi r}{2}

真正的突破口還是來(lái)源于搜尋線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系，而我低估了「正交且完整地枚舉」的重要性 & 練習(xí)：

在搜尋：

\begin{cases} x = \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \\ l = \frac{l}{2} + \frac{l}{2} \\ r = x + \overline{DO_2} \\ ... \end{cases}

眾多可能之后，發(fā)現(xiàn)了關(guān)鍵一步：\frac{x}{2} + \frac{l}{2} = r 。

∴ x = (\frac{4}{\pi} - 1) \cdot l ，解畢。

在高觀點(diǎn)下，一切伎倆無(wú)所遁形

可見(jiàn)畫(huà)出中軸輔助線是關(guān)鍵。那么要是沒(méi)作出這條輔助線，能否找出「關(guān)鍵一招」？至少用解析幾何可以。以 O_1 為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系：

\begin{cases} x^2 + y^2 = r^2 \\ (x - l)^2 + y^2 = r^2 \end{cases}

可解出兩圓的交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為 \frac{l}{2} ?？梢?jiàn)，在高階工具面前，低階伎倆無(wú)所遁形。

應(yīng)該如何復(fù)盤(pán)？

1?? 信息搜集是否完整？遺漏了哪些關(guān)鍵信息？
2?? 擊潰問(wèn)題的武器??是否在你的武器庫(kù)中？即這個(gè)知識(shí)點(diǎn)（最好把入庫(kù)的門(mén)檻設(shè)為某種普適的原則，而非那些所謂「湊十法」的伎倆）是否為你所掌握？
3?? 如果在你的武器庫(kù)里，那么是什么遮蔽了你看到它？
4?? 更新對(duì)你的武器庫(kù)的了解。觸發(fā)條件、適用范圍、使用成本…… 最好給出幾個(gè) TL;DR[1] 的、極限情況下的使用范例。
5?? 更新你心理上的認(rèn)知盲點(diǎn)。

要是我大妞珠錯(cuò)題庫(kù)里每一道錯(cuò)題都是這篇 Write Up 的剖析程度（包括繪圖 & 使用 \LaTeX 記錄），那她就不是在訂錯(cuò)題本，而是在打造武器庫(kù)??。

Ref:

  1. Too Long; Don't Read. ?

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