在以直線的線段為邊的封閉圖形中，三角形是最基礎的最簡單的圖形。三角形，體現(xiàn)了“邊、角、形”的最基礎關系；也是反映“數(shù)與形”結(jié)合的最基礎的系列關系。所以，三角形、勾股定理、三角函數(shù)（我愿稱之為跑圈函數(shù)），成為平面幾何學的重點。
一、三角形的奇特性
三角形，有三個角、三條邊。三條直線邊圍成三個角，這種封閉圖形就是“三角形”，又叫“三邊形”。三角形的三個內(nèi)角的角度之和，為一百八十度180°)。
三角形是角與邊長關系最穩(wěn)定的圖形。 若改變一個角的角度，就必然會改變其對應的邊長。若改變?nèi)切我粭l邊長，就必然會改變那個角的角度。三角形的“邊與角”的關系十分穩(wěn)定。有“變”則相應跟著“變”；不“變”就都不“變”。邊角的“伴侶”關系“鐵”得很。
三角形有三個頂點，且只有三個角的頂點。三角形內(nèi)在隱函的特殊線段，都與這三個頂點相關：
將一個角的角度，平分為兩半的線，叫角平分線。角平分線上的任一點，到角的兩邊線的距離都相等。三角形的角平分線是將頂角平分為兩半、并從頂點引向?qū)叺倪吘€相交點的線段。三角形的三條角平分線相于一點，叫三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)心，是與三條邊相切的內(nèi)切圓的圓心。
三角形的邊線中點與對應角頂點的連線，叫中線。三角形的三條邊的中線，相交于一點，叫作外心。外心是三角形外接圓的圓心。 三角形三條邊中點與中點連線，叫中位線。中位線平行于底邊，且為底邊的一半。
三角形的角頂點到底邊(或底邊的延長線)的垂直線，叫角垂角線；三條邊的角垂線，相交于一點，這一點叫作三角形的重心。通常將角垂線叫做三角形的高。三角形的面積等于底邊乘高之積的二分之一。
三角形的“角平分線、角中線、角垂線”，是三角形內(nèi)在的隱含的三種特殊錢段。這也是三角形“作圖、證明、計算”的重要的輔助線，是可以根據(jù)需要，允許隨時添加的這類線段。 這三大輔助助線、以其相關的定理，是三角形的已知條件中，不言自明的間接的已知條件。
角平分線定理
定理1：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。
定理2：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。
二、三角形的分類
三角形按角的大小分類，分為鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形。三角形中若有一個角是九十度(90°)的直角，就是直角三角形；若有一個角是大于九十度(90°)的鈍角，就是鈍角三角形；若三個角都是小于九十度(90°)的銳角，就是銳角三角形。
三角形若按邊長是否相等來分類，可分為：等邊三角形(三條邊均相等)、等腰三角形(其中有兩條邊相等)、不等邊三角形(三條邊都不相等)。
等邊三角形，不僅三條邊相等，三個角也相等。每個角都等于60°。而且等邊三角形的三條中線與三條角平分線、三條(角垂線)高，都相等。
等腰三角形，兩條腰邊線相等、對應的兩底角相等。底邊的高、中線與頂角平分線相同、相等。
直角三角形，有等腰直角三角形，兩底角均為45°；有30°、60°、90°的直角三角形…等。直角三角形是所有三角形中的最具特色的三角形，是三角形中的“領頭羊”；任意三角形都可以分拆為兩個直角三角形。 勾股定理、畢達哥拉斯定理，三角函數(shù)（跑圈函數(shù)）……就是關于直角形的邊與角關系的重要定理和推理。
（一）等邊三角形的奇妙
在三角形中，最奇妙的是等邊三角形。
等邊三角形，不僅三條邊相等，三個角也相等。每個角都等于60°。而且等邊三角形的三條中線與三條角平分線、三條(角垂線)高，都相等。這三條線(中線、角平分線、角垂線即“高”)又將這個等邊的大三角形，分成兩個“全等”的特殊的直角小三角形(這個小的特殊三個角形的三個角，分別為90°、60°、30°；30°角所對的短直角邊為斜邊的一半，其三條邊的比例為2：1： )。
（二）直角等腰三角形的奇妙
頂角為直角的等腰三角形，是在直角三角形與等腰三角形的結(jié)合，兼具這兩類三角形的特殊性。它即是兩腰邊長相等、兩底角相等；又是兩底角為45°，而且“高”是底邊的二分之一；兩直角邊的平方之和，等于斜邊的平方；其頂角的角平分線、底邊的中線與高，三線合一，為同一條線段，并將這個直角等腰的大三角形，分折成為兩個“全等”的直角等腰的小三角形。
（三）直角三角形(勾股三角形)的奇妙
任一直角三角形，三條邊的關系是有固定規(guī)律的：“兩條直角邊的邊長平方之和，等于斜邊長的平方”。
這就是著名的“勾股定理”，也叫“畢達哥拉斯定理”。用現(xiàn)代數(shù)學符號表示， a^2+b^2=c^2.
其中，a、b 是三角形的直角邊，c 是其斜邊。這個等式的意思是：兩直角邊的平方數(shù)，相加之和，等于斜邊的平方數(shù)。這就是 “ aˇ2 + bˇ2 = cˇ2 ”。“兩直角邊的平方數(shù)，相加之和，等于斜邊的平方數(shù)”的證明，歷史上已有“數(shù)百種”方法，作出了證明。這是畢達哥拉斯給出的經(jīng)典證明：
西方古代的這個數(shù)學家發(fā)現(xiàn)這個定理，宰百頭牛，舉辦“百牛宴”進行慶賀，曾將這個定理稱為“百牛定理”。 他們還通過這個定理，發(fā)現(xiàn)了“無理數(shù)”。即a2+b2=c2； 若a=b=1，則c==
。導致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，從而深刻揭示了數(shù)與量的區(qū)別，即所謂“無理數(shù)與有理數(shù)”的差別，這就是所謂第一次數(shù)學危機。
畢達哥拉斯定理是一個基本的幾何定理，它是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。它是人們認識宇宙中“形的規(guī)律”的自然起點，無論在東西方文明起源過程中，都有著很多動人的故事。中國古代數(shù)學著作《九章算術》的第九章即為勾股術，并且整體上呈現(xiàn)出明確的算法和應用性特點，這與歐幾里得《原本》第一章的畢達哥拉斯定理及其顯現(xiàn)出來的形象推理和純抽象推理特點恰好形成煜煜生輝的兩極，令人敬佩。勾股定理還利用“勾3、股4、弦5”作三角形的邊，來判別直角和直角三角形，來制作直角三角形工具。世世代代的木工師傅的“角尺”、“尺規(guī)”，就是這樣的廣泛用來制定直角的規(guī)矩工具。此外，從勾股定理出發(fā)，引伸出“開平方、開立方、求圓周率”等；有些運用勾股定理的數(shù)學家，還發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)。
三、三角形的相似與全等
（一）相似三角形
1.相似三角形的性質(zhì)
(1)相似三角形的對應角相等。
(2)相似三角形的對應邊成比例。
(3)相似三角形的對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周長比等于相似比。
(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。
2.相似三角形的判定
(1)兩角對應相等，兩個三角形相似；
(2)兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似；
(3)三邊對應成比例，兩個三角形相似。
（二）全等三角形
全等三角形的判定
1.三組對應邊分別相等的兩個三角形全等(簡稱SSS或“邊邊邊”)
2.有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS或“邊角邊”)。
3.有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA或“角邊角”)。
4.有兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS或“角角邊”)
5.三條中線（或高、角平分線）分別對應相等的兩個三角形全等。
四、三角形的面積
在三角形與其它多邊形的關系中，直角三角形與四方形(包括正方形與長方形)的關系最為密切，相關要素、相同要素比較多；特別在求面積的計算方面，幾乎如同出一轍。實際上是先求四方形的面積，再求三角形的面積。
面積的單位為“長與寬”的邊長均為1個單位的正方形面積；即為1平方單位量(米、厘米、公里……等)。
幾何面積，即平面圖形的封閉面的“長度與寬度相乘”之“積”。 面積的計算方法：“長乘以寬，等于面積”。這種通常說法，只是指四方形面積的求法。 四方形的四個角都直角，四條邊線兩兩平行、相鄰邊線又相互垂直。因此，以一邊的長為長度，另一相鄰邊線的長就是寬度；即長乘寬，也就是“一個直角”的兩條邊相乘，等于面積。但對于不是方形的“四邊形、多邊形”，其求面積的方式就不一定是“長乘寬”了，因為其它這些圖形的長度和寬度，不一定保持左右或上下的一致。只能用它的平均長度或平均寬度(高度)求其面積。四方形面積為長度(a)乘以寬度(b)，即a*b=ab；梯形平積等于“上底(a)加下底(b)之和、除以二”(平均長度)，再乘以高度h(平均寬度)；等于梯形面積即h*(a+b)/2。 三角形面積為底邊(a)的一半乘以高(h)，即(1/2)a*h =(a*h)/2 = ah/2。
三角形的面積等于同等“邊長與高”的方形面積的一半。 即直角三角形的兩直角邊長為a與b，(即為四方形的長與寬、三角形的高與底邊；) 那么，四方形面積為(ab)，是三角形面積(ab/2)的二倍。
三角形的底邊的二分之一長度，即為兩腰邊的中位線。因此，三角形的面積，又可看作中位線與這邊線的高的乘積。
四方形的面積，也可看“上邊長加下半長的平均值”與“左邊寬加右邊寬”的平均值的乘積。而“長乘寬，只不過是這種復式的簡化式。例上邊長a，加下邊長a的平均值為(a+a)/2=a ；左邊寬b加右邊寬b”的平均值為(b+b)/=b；它們的乘積簡化為ab。而正方形四邊長度相同，因此其面積ab，因a=b而變?yōu)閍*a的乘積，即為a的平方冪(a^2 )。
三角形面積的計算方法，可推廣為“求多邊形面積”的方法。首先將多邊形，拆分、化作“四邊形或三角形”，再用三角形求面積方法，求各分拆圖形的面積及其面積之和。
五、三角形的“邊與角”計算
三角形是由三條線段圍成一個的封閉形的三角圖形。但并不是任何長短的三條線段，都可以圍成一個三角形。 三角形中“兩邊之和，大于第三邊；兩邊之差，小于第三邊”。即：
三角形的兩條邊線的長度之“和”，“大于”第三邊線的長度；
（兩點之間，直線最短）
兩條邊線的長度之“差”，“小于”第三邊線的長度。
（不等式變形）
?因此，只有兩條線段的長度之和，大于第三條線段的長度；兩條線段的長度之差，小于第三條線段的長度；這樣的三條線段，才能圍成一個三角形。
一個三角形的周長(S)，等于三角形的三條邊線(邊線a、邊線b、邊線c)之和。即S=a+b+c；a=s-b-c；b=s-a-c；c=s-a-b 。因此，已知三角形的周長和兩條邊長，可求出另一條邊長。
一個三角形的三個內(nèi)角之和，等于一百八十度(180°)。 當已知一個三角形的任意兩角的角度，則可求出另一角的角度。 即∠A+∠B+∠C=180°； 180°-∠A-∠B=∠C； 180°-∠A-∠C=∠B； 180°-∠C-∠B=∠A。
當已知一個三角形的任意兩條邊長和夾角α的角度，可求出另一條邊的邊長。
當已知一個三角形的任意兩個角的角度和所夾的一條邊長時，可求出另兩條邊的長度。
三角形的邊角關系的證明、推演、求值，都是從通過三角形中的“已知角度去求未知角度”，通過“己知線段的長度”，去求出“未知線段的長度”。
這源于三角形有兩條重要相似定理：
(1)相似三角形的對應角相等。
(2)相似三角形的對應邊成比例。
也就是說，角和邊是相互決定的，測量好角度就可以知道邊的比例，而不需要跑去逐個測量再求比值，更不用說比如山的高度，河的寬度這些無法直接測量的數(shù)值。所以這么優(yōu)秀的工具，肯定會有數(shù)學家進行開發(fā)。為了更簡單的研究這種比值關系，可以將角放在直角三角形中，因為任一三角形都可以通過做高變成兩個直角三角形，固定一個銳角，三角形的性狀也就固定，各個邊的比值也就固定了。這個角的變化，帶來三個邊的比值變化。直角三角形的邊與角的關系，就構(gòu)成一個對應映射關系（函數(shù)）。
直角三角形ΔABC中，若角C為直角，直角C所對的斜邊，為線段c；角B為銳角(小于90度或大于45度)，角B所對的直角邊為線段b；角A為另一銳角(小于45度或等于45度)，角A所對的直角邊為線段a ；定義
角A的正弦sin?A＝a/c， 余弦cos?A＝b/c，正切tan?A＝a/b；余切cot A=b/a；正割sec A=c/b；余割csc A=c/a。
特殊角三角函數(shù)的值（都可以運用幾何作圖方式求得，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合）：
若角A為0度，則正弦sin?0°＝0， 余弦cos?0° =1，正切tan?0° =0；
若角A為15度，則正弦sin?15°＝（-
）/4， 余弦cos?15° =（
+
）/4，正切tan?15° =2-
；
若角A為30度，則正弦sin?30°＝1/2， 余弦cos?30° =/2，正切tan?30° =
/3；
若角A為45度，則正弦sin?45°=/2， 余弦cos?45°＝
/2，正切tan?45°＝1；
若角A為60度，則正弦sin?60°=()/2， 余弦cos?60° =1/2，正切tan?60° =
；
若角A為75度，則正弦sin?15°＝（+
）/4， 余弦cos?15° =（
-
）/4，正切tan?15° =2+
；
若角A為90度，則正弦sin?90°=1， 余弦cos?90°=0，正切tan?90°無；
思路拓展1：求任意銳角的正余弦、正余切和正余割。
這應該是人們發(fā)明正余弦、正余切和正余割研究角度后，最迫切想完成的事情。只有知道任意角度（銳角）對應的比值精確值，才能真正使人們在大型物體高度測量、天文測量、航海定位工作中獲得幫助。30度45度60度，是直角三角形中的特殊存在，讓人類利用幾何作圖的方式，“投機取巧”的獲得了數(shù)值，其余角的數(shù)值需要更復雜的計算。
思路拓展2：銳角三角形的邊角關系。
銳角三角形，可以通過輔助線將其本體劃分為兩個直角三角形，利用直角三角形得出的正余弦、正余切和正余割數(shù)值相互作用，應該可以展示銳角三角形的邊角關系，將工具的功能繼續(xù)放大。
借助兩個思路，科學家們投身了三角形的研究中，碩果累累，無數(shù)三角定律、運算公式橫空出世。
（一）正弦定理
在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r為外接圓半徑，D為直徑）。
證明思路：
（二）余弦定理
對于邊長為a、b、c而相應角為A、B、C的三角形，有：
a2 = b2 + c2- 2bc·cosA
b2 = a2 + c2 - 2ac·cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab·cosC
也可表示為：
cosC=（a2 +b2 －c2）/ 2ab
cosB=（a2 +c2 -b2）/ 2ac
cosA=（c2 +b2 -a2）/ 2bc
這個定理也可以通過把三角形分為兩個直角三角形來證明。余弦定理用于在一個三角形的兩個邊和夾角已知時確定未知的數(shù)據(jù)。
證明思路：
（三）面積公式
（4）海倫公式
