題 令函數(shù) ,過點(diǎn) 作切線交軸于,再過點(diǎn)作切線交 軸于。 若則停止，以此類推，得到數(shù)列 (1) 若正整數(shù)，求證:; (2) 若正整數(shù)，試比較的大小; (3) 若正整數(shù)，是否存...
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羅爾中值定理證明2023年上海高考21題
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一些數(shù)列題的知識背景是牛頓迭代法牛頓迭代法 已知函數(shù)在上單調(diào)、可導(dǎo)、有根，方程在(a,b)上的根可用如下迭代公式逼近： 在高中數(shù)列題中，經(jīng)常出現(xiàn)一些題的知識背景是牛頓迭代法，以下有一些例子可以說明這點(diǎn)。
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b^2/(a^2+ab)不是整數(shù)
題 是正整數(shù)，證明：不是整數(shù)。證法1 假設(shè)是正整數(shù)，則關(guān)于b的二次方程有正整數(shù)解，這說明是平方數(shù)。由，故是平方數(shù)。另一方面，因，故。展開移項化簡得：，這與是正整數(shù)矛盾。所以假...
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利用"帶余除法"證明根號2是無理數(shù)
題 證明： 是無理數(shù)。證明 假設(shè)是有理數(shù)，那么存在互素的正整數(shù)，滿足，從而有于是知，所以存在一個，使代入(1)變形得：所以，因，故。這與矛盾。假設(shè)不成立，命題成立。 評注 本...
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【11】整數(shù)問題
題11.1 已知，求證：(1) 不是整數(shù)。(2) 區(qū)間中沒有整數(shù)。 證明 (1) 假設(shè)是正整數(shù)，則關(guān)于b的二次方程有正整數(shù)解，這說明是平方數(shù)。由，故是平方數(shù)。另一方面，因，故...
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【13】函數(shù)的極限
定理13.1 證明 a) 當(dāng)時，命題顯然成立。b) 當(dāng)時, 取滿足，令，當(dāng)時，所以又由的選取，得由(13.1.1)及(13.1.2)得：，所以，此式對任意的自然數(shù)成立，所...
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【6】級數(shù)初步題6.1 把展開成的冪級數(shù)()。解法1 設(shè)，則上式右邊系數(shù)為，比較系數(shù)：所以，，最后：解法2 如圖6.1.1，列除法豎式： 所以， 題6.2 把展開的成冪級數(shù)。解法1 設(shè)，則...
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【7】整除性與余數(shù)
定義7.1 是整數(shù)，若存在整數(shù)使，則稱整數(shù)能整除整數(shù)，或稱能被整除，記作：。否則，稱整數(shù)不能整除整數(shù)，或稱不能被整除，記作：。請根據(jù)以上定義判斷以下每對數(shù)是否整除： 題7.2...
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【1】自由落體運(yùn)動與拋體運(yùn)動定義1.1 初速度為零、有且只有重力作用的運(yùn)動，稱作自由落體運(yùn)動。(1) 設(shè)行星表明的重力加速度為，那么物體做自由落體運(yùn)動時刻速度為_______米/秒，落下距離為_____...
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【5】復(fù)數(shù)基礎(chǔ)定理5.1 復(fù)數(shù)域不是有序域。證明 假設(shè)命題不成立，即復(fù)數(shù)域是一個有序域。因?yàn)?，所以或，根?jù)有序域的性質(zhì)，，這樣就有，然而矛盾。所以假設(shè)不成立，命題成立。 定理5.2 復(fù)數(shù)分...
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【5】幾何計數(shù)題5.1 如圖5.1.1，有_______條線段。 題5.2 如圖5.2.1，有_______個長方形。 題5.3 如圖5.3.1，有_______個正方形。 題5.4 如圖...
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【4】多項式乘法與除法題4.1 展開多項式：(1) (2) (3) (4) 題4.2展開多項式：(1) (2) (3) (4) 題4.3 按的次數(shù)遞降展開多項式，并在表4.3.1中記錄相應(yīng)的...
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【3】自然與數(shù)列
題3.1 已知一列數(shù)問：(1) 19,190,1900是否在此列數(shù)中？他們分別在第幾個？(2) 請問第20個位置、202個位置、2022個位置的數(shù)分別是多少？ 題3.2 以...
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【2】基本計數(shù)問題題2.1 從中取個不同的數(shù)，有多少種組合？解 可以利用楊輝三角形：解得：從不同的7個數(shù)中取3個不同的數(shù)，總共有35種組合。 題2.2 從中取個不同的數(shù)，組成三位整數(shù)，共可以組...
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【4】數(shù)列極限基礎(chǔ)定理4.1 收斂的數(shù)列有界。證明 設(shè)，那么存在正整數(shù)，當(dāng)時 得當(dāng)自然數(shù)時，令，即.取綜上所述可得：從而證得有界。 題4.2 數(shù)列收斂于非零實(shí)數(shù)，那么：證明 (1)當(dāng)時，即：所...
個人介紹
數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)競賽，奧林匹克數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，信息技術(shù)與計算科學(xué)