調(diào)和思想與待定模式思想

? 對"調(diào)和"這個詞，很多人應該比較熟悉，在生活、學習、工作中一般都會碰到與調(diào)和有關的概念與事物，例如調(diào)和油、調(diào)制酒水、調(diào)制配方、五味調(diào)和、五音調(diào)和、調(diào)和陰陽、調(diào)和脾胃、色彩調(diào)和、矛盾調(diào)和、調(diào)和平均數(shù)。可見，“調(diào)和思想”應用非常廣泛，調(diào)和思想在數(shù)學中也有它的用處，例如復數(shù)(a+bi，a為實部，b為虛部)就是對實數(shù)的調(diào)和，通過增加虛部對實數(shù)進行調(diào)和；在不等式問題中運用配湊法求最值時，有時要對配湊代數(shù)式中的待定系數(shù)根據(jù)取等條件進行調(diào)和與求解，這些在本人簡書和今日頭條相關內(nèi)容中都有應用，例如簡書數(shù)學思想方法揭秘-29后記14中的例3~例7、一道最值題中的方法二。

? 調(diào)和，指的是事物的多個部分之間，相互配合得宜，調(diào)整得當，協(xié)調(diào)一致，有機和諧地地聯(lián)系結合在一起。如調(diào)制酒水飲料一樣，調(diào)和也是創(chuàng)造生成新事物、新結構的方法，數(shù)學中的調(diào)和平均數(shù)就是通過某種調(diào)和而產(chǎn)生的。

? ”待定模式”思想是假設、邏輯思維、合情合情設想、模式思想等綜合而產(chǎn)生的一種數(shù)學思想。碰到問題時，開始只能確定大致的模式，大致的框架，也就是其完整的清晰的模式是有待后面進一步確定的。待定模式的層次要高于待定系數(shù)法，待定系數(shù)法是一種數(shù)學方法，在代數(shù)問題中運用待定模式思想時可能會用到待定系數(shù)法。

? 在數(shù)學中運用調(diào)和思想和調(diào)和法，往往與待定模式思想、待定系數(shù)法、假設法、合情設想、組合思想、調(diào)整法、配湊法、試探法、試驗法、迭代法等結合在一起使用，它們是調(diào)和法的伴侶。因為對一些新問題，往往還不知道”調(diào)制配方”，不知道配方的組成（由哪些部分組成）和每個部分(成分)的比例或數(shù)量，所以往往要用到待定、假設、合情設想等先把配方的大致模式確定下來。接下來逐步從模糊到清晰，使用合情設想、調(diào)整法、試探法、試驗法等確定待定的一些數(shù)學對象，例如確定待定系數(shù)的值、確定變量的值、確定關系和結構。

? 這里講解下調(diào)和思想在解方程中的應用。

調(diào)和思想在解方程中的應用

? ? 求方程x^3 +6x+3=0的實數(shù)解。


? ? 沒學過一元三次方程的求根公式，這個方程也沒有特殊解，因式分解也困難。怎么解這個方程，非常規(guī)的解法是什么？

? ? 從解題思維的角度，每種思想方法都是啟發(fā)引導我們的思維念頭，幫助我們探索解題方法的一個工具，我們的大腦中應該有一個裝有多種思想方法和思維方法的數(shù)學思維工具箱。

? ? 對這道題，可以從工具箱中拿出調(diào)和思想，利用調(diào)和的思想意識和調(diào)和的眼光，把x看作雞尾酒，如何運用調(diào)和思想把x調(diào)制勾兌創(chuàng)造出來？


? ? 首先確定x大致的調(diào)制配方&調(diào)制模型：合情設想加待定模式，假設x的待定模式為x=m+n。代入方程中可得：

? ? m^3 +n^3 +3mn(m+n)+6(m+n)+3=0? ? 1）

? ? m、n是待定的變量(未知數(shù))，目前還不知道它們的具體數(shù)值，也不知道它們之間除了1)之外的其他關系，顯然單靠1)是無法求出確定m、n的，還缺少關系(方程式)。

? ? 怎么增添新關系&構造新關系&衍生繁衍關系？

? ? 還是合情設想，令m^3 +n^3 +3=0，則3mn(m+n)+6(m+n)=0。m+n\neq 0，所以mn=-2，m^3 n^3=-8。

? ? ? 由韋達定理，可想到構造兩個根分別為m^3、 n^3的一元二次方程t^2 +3t-8=0。解這個方程最終求得

x=\sqrt[3]{\frac{-3+\sqrt{41} }{2} } -\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{41} }{2} }


? 上面令m^3 +n^3 +3=0，可以這樣理解：先放后收，開始的時候m+n=x，顯然在（m，n）空間中,有無窮個（m,n）對滿足m+n=x,但后面我們用調(diào)整法、加強條件（添加約束限制條件進行收緊處理）：把m、n調(diào)整&調(diào)節(jié)&收緊為滿足m^3 +n^3 +3=0的那些（m，n），從而”一生二”，從1）式的一個關系生出兩個關系：m^3 +n^3 =-3、m^3 n^3 =-8 ，構造一元二次方程求出了合適的調(diào)和變量m、n。

? ? 推廣到一般，對方程x^3 +px+q=0，其中p、q為系數(shù)，用調(diào)和思想可得到該方程的解。

題外

? 思維比知識重要，思維是本是靈魂是漁，是知識之母，知識是末是魚是子，這是共識。不知母，焉知子？所以要多研究思維學，多研究學科思維方法論，多研究思想方法。

? 我們的初高中數(shù)學教育幾十年來一直存在致命的問題，就是一直喊著鍛煉學生數(shù)學思維能力的口號，實際上卻心有余而力不足，打左燈向右轉(zhuǎn)，一直以數(shù)學知識為中心，而不是真正以數(shù)學思維為中心，舍本逐末，買櫝還珠，掛羊頭賣狗肉。其他學科也類似，都是以學科知識為主，缺少真正到位的學科思維鍛煉，學科思維鍛煉落地效果是不理想的，連差強人意都算不上。

? ? 本人在IT軟件開發(fā)領域，從業(yè)余人士的視角談談上述問題的根源：

? ? 第一，人的問題，數(shù)學教育界缺少真正的數(shù)學思維明師。做老師的，智商和學習成績應該都一般，肯定算不上拔尖，初高中數(shù)學老師也不例外，我們的大學數(shù)學教授研究水平也普遍一般，不是數(shù)學研究強國，雖然有些人不愛聽，但這是實話和真相，所以廣大吃瓜群眾不要過度迷信初高中數(shù)學老師與數(shù)學教授。當然，他們經(jīng)過多年的浸淫，刷題多，見識多，看書多，掌握豐富數(shù)學知識，具有較豐富的解題經(jīng)驗，所謂的數(shù)學名師多，但“無它，唯手熟爾”，刷題刷出了感覺而已，有術無道，數(shù)學名師非數(shù)學思維明師。在數(shù)學思維領域，可以說幾乎沒有思維明師。數(shù)學思維方法論領域還有較多發(fā)展創(chuàng)新空間，數(shù)學教育界在數(shù)學思維方面缺乏真正的創(chuàng)新開拓，思想僵化，固步自封，我們連個像樣些的數(shù)學思維方法論體系框架都沒有，遑論足夠通透系統(tǒng)的數(shù)學思維方法論，數(shù)學書籍中關于數(shù)學思維和數(shù)學思想的內(nèi)容都存在不通透，不系統(tǒng)(零碎)的問題。這也是本人在簡書和頭條上寫數(shù)學思維系列文章的原因，闡述足夠通透系統(tǒng)的數(shù)學思維方法論。

? 這個系列文章，簡書文章前言標題為”自從一讀本系列，始覺從前錯用心”，就是說我們幾十年來接受的都是錯誤的數(shù)學教育，主要是灌輸數(shù)學知識，學生沒有得到真正到位的數(shù)學思維熏陶訓練，我們的數(shù)學教育一直在誤人子弟。

? 第二，還是人的問題，廣大吃瓜家長和學生不明上面的真相，不知道數(shù)學教育皇帝新裝，目光短淺，飲鴆止渴追求短期利益：能升學，能考上理想的大學，能競賽獲獎能保送。在沒有到位的思維熏陶訓練的情況下，學校和培訓機構采取的補救補拙的措施就是：嚴格的時間管理，抓緊時間，對學生進行海量刷題、大量培訓大量訓練和大量看書學習，事倍功半，從而獲得家長學生需要的短期利益，學校、老師、培訓機構也名利雙收。在一定程度上，這其實是忽悠不明白數(shù)學教育沒有思維真相的吃瓜家長和學生。對數(shù)學競賽，還要花費不菲的家庭財力去進行校內(nèi)校外培訓，犧牲綜合學科，但即便獲獎，長遠看有多大效果？這種缺乏到位的思維方法思想方法熏陶的教育，靠海量刷題看書，靠拼命灌輸知識進行快餐式喂養(yǎng)，有術無道，掌握的大多是數(shù)學解題的雕蟲小技，缺乏對數(shù)學思維大道的訓練和領悟，這樣培養(yǎng)出來的學生，思想底蘊不足，思維固化，在創(chuàng)新研究方面一般注定是后繼乏力，曇花一現(xiàn)，走不遠的。

? 數(shù)學家陳省身：”我們每個人一生都花了很多時間學數(shù)學，但我們其實只是學會了計算，而不是數(shù)學”? 。這與我們的數(shù)學教育拼命灌輸數(shù)學知識，缺乏到位的數(shù)學思維熏陶鍛煉有極大關系。掌握豐富數(shù)學知識，而思維能力一般的學生很多，這就屬于“只是學會了計算，而不是數(shù)學”。

? ? 對數(shù)學考試數(shù)學競賽與數(shù)學研究，吃瓜群眾還有一些誤解。其實數(shù)學研究創(chuàng)新和數(shù)學考試&競賽在思維和內(nèi)容方面均有區(qū)別，不是一回事。我們幾十年拼命灌輸數(shù)學知識培養(yǎng)出來的學生，即便在數(shù)學考試或競賽中取得好成績，并不意味著數(shù)學研究創(chuàng)新能力就強，我們是數(shù)學競賽強國但不是數(shù)學研究強國，這難道不是佐證？而數(shù)學競賽成績不好，也并不意味著不適合做數(shù)學研究，知名數(shù)學家、數(shù)學教授不會做初高中數(shù)學競賽題甚至是普通初高中數(shù)學題，這種情況多的很，不奇怪，也并不是他們不熟悉初高中數(shù)學知識。而這些題，特別是偏怪題，有些初高中數(shù)學老師會做，“無它，唯手熟爾”，他們在這些初等數(shù)學問題上投入的時間多，鉆研的深，掌握的經(jīng)驗技巧多，但有術無道。國內(nèi)還沒有如西方國家那樣的數(shù)學天才，但有數(shù)學天賦的人不少。把過多時間精力花在初等數(shù)學這種低層級的上面不劃算，特別是普遍沒有到位的數(shù)學思維熏陶鍛煉的時候，如果有到位的思維熏陶訓練，倒不反對通過學習研究初等數(shù)學問題來鍛煉數(shù)學思維，但現(xiàn)實是幾乎沒有到位的思維熏陶訓練。我們學習初等數(shù)學的目的主要是為了鍛煉數(shù)學思維能力，不是單純?yōu)榱藢W習初等數(shù)學知識，初等數(shù)學知識不難學，不難自學，難在如何思維。

圖1

? 第三，還是人的問題，這部分人就不談了。

? 三年前，有感于我們數(shù)學教育存在的上述問題，期望能為數(shù)學思維領域的研究注入新的觀點與活力，在簡書和今日頭條上利用業(yè)余時間創(chuàng)作了多篇關于數(shù)學思維領域的內(nèi)容，主要結合自己初高中自學數(shù)學的感悟，融匯了其他學科核心思想之后的所思所想，沒有參考其他書籍和資料。

? 如本人先前在今日頭條文章中所講：當有一些學生念念不忘的是各種思維方法(例如聯(lián)想、類比)和各種思想方法，而不只是勾股定理、力的分解與合成等知識的時候；當教材中白紙黑字包含學科思維內(nèi)容。我們的數(shù)學教育和其他學科教育大概才算有些起色，學科知識教育與學科思維教育協(xié)調(diào)發(fā)展才是正道。

? 由于是數(shù)學業(yè)余人士，大學階段及工作后多年也沒玩數(shù)學，本人所寫的這些內(nèi)容，自我感覺還有很多不如意的地方，目前也只是把它們作為一版草稿，待以后有空再修訂補充完善，力求構建足夠通透系統(tǒng)的數(shù)學思維方法論，為數(shù)學思維方法論的開拓發(fā)展作點貢獻，盡點綿薄之力。


? ? ? ? 道悅(王國波)? 2022.9.15于廣州

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