很多同學(xué)作為數(shù)學(xué)系的研究生，從本科的知識(shí)學(xué)習(xí)階段過渡到碩博的科研階段，最大的區(qū)別就是需要大量閱讀前沿的文獻(xiàn)，以了解最新的研究方向，因此本篇文章為出入茅廬的數(shù)學(xué)系的研究生給出一...
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數(shù)學(xué)類論文及期刊 -
整環(huán)
本節(jié)我們介紹整環(huán)：簡(jiǎn)單概括：整環(huán)是域的前身，它是沒有平凡零因子的交換環(huán)。 整環(huán):如果一個(gè)環(huán)是有單位元交換環(huán)，并且它沒有非零的零因子，那么我們就把稱為一個(gè)整環(huán)。常見整數(shù)環(huán)的例子...
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2.4 有限域的構(gòu)造，構(gòu)造擴(kuò)域的途徑
構(gòu)造含 9 個(gè)元素的有限域，寫出它的全部元素?！舅悸贰靠紤]這是他唯一的素?cái)?shù)分解方式。 【解答】我們考慮在中找一個(gè)二次不可約多項(xiàng)式(因?yàn)槎疾皇撬母? 因此就是一個(gè)域，它的每個(gè)...
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2.3 素理想和極大理想
設(shè) 是一個(gè)代數(shù)封閉域(即 中每一個(gè)不可約多項(xiàng)式都是一次多項(xiàng)式), 求 的全部素理想。【解答】 中的每個(gè)理想都是主理想，其中非的主理想可以有首1的多項(xiàng)式生成，并且我們知道...
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2.2理想的運(yùn)算，環(huán)的直和證明：在域 上的一元多項(xiàng)式環(huán) 中，問題一： 【證明】我們只需要證明集合兩端相互包含即可。 問題二，三： 【這兩條也是通過雙包含關(guān)系證明】問題四： 【證明】由...
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2.1環(huán)同態(tài)，理想，商環(huán)
設(shè) 是一個(gè)域, 令 證明： 是 的一個(gè)子環(huán), 并且求 的單位元?！窘獯稹孔C明子環(huán)只需要說明對(duì)于減法和乘法封閉即可。【證明】 它的單位元是，這說明子環(huán)的單位元和最初的環(huán)...
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1.10 有限Abel群的結(jié)構(gòu)問題
分別確定 階, 階, 階, 階, 階 Abel 群的互不同構(gòu)的類型。 【解答】①，所以12階群的初等因子只可能有兩種情況.和它的兩種同構(gòu)類型分別是和②他的初等因子有...
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1.8 群在集合上的作用：軌道，穩(wěn)定子
令 說明這個(gè)映射給出了群 在實(shí)數(shù)集 上的一個(gè)作用。 【解答】 結(jié)合律單位元說明這個(gè)映射給出了一個(gè)群在集合上作用。 令 說明這個(gè)映射給出了群 在實(shí)數(shù)集 上的...
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1.6 同態(tài)，正規(guī)子群，商群，同態(tài)基本定理
設(shè) 是實(shí)數(shù)加法群 到非零復(fù)數(shù)乘法群 的一個(gè)映射：(1) 證明： 是一個(gè)同態(tài)；【解答】 所以是一個(gè)同態(tài)。(2) 求 和 ?！窘獯稹?①令有,所以。② ，為復(fù)平面上的單位...
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1.5 群的直和，直積
把 分解成它的兩個(gè)非平凡子群的內(nèi)直和。【解答】：我們知道，因此要把它分解成非平凡的子群的內(nèi)直和，只能是也就是 設(shè) 是 階循環(huán)群, 把 分解成它的兩個(gè)非平凡子群的內(nèi)直和...
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1.4 子群，陪集與lagrange定理設(shè) 是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，令(1) 說明 是 的一個(gè)子群；【解答】：只需要說明對(duì)減法封閉即可。 對(duì)任意的,都有，因此 所以是的子群。 (2) 說明 是循環(huán)群。 【解答】：只...
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1.3 n元對(duì)稱群
在 中，設(shè)(1) 求 ；【解答】 根據(jù)上面這個(gè)例子我們可以發(fā)現(xiàn)不是一個(gè)交換群。 【注意】即使上面兩個(gè)例子算出的結(jié)果相同，我們也不能說，是一個(gè)交換群。因?yàn)榻粨Q群要任意兩個(gè)元素...
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1.2 圖形的對(duì)稱群
寫出正六邊形的對(duì)稱(性)群 的所有元素， 的生成元是什么？生成元適合的關(guān)系有哪些？ 的階是多少？ 【解答】：的階數(shù)為，他有兩個(gè)生成元，我們記作和.其中表示繞正六邊形的中心旋...
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1.1 循環(huán)群
設(shè) 是正整數(shù), 在復(fù)數(shù)域 中, 所有 次單位根(即多項(xiàng)式 的復(fù)根) 組成的集合對(duì)于復(fù)數(shù)的乘法成為一個(gè)群, 稱它為 中的 次單位根群, 記做 。 令 . 說明 是...
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域，域擴(kuò)張
本節(jié)我們來介紹"域"這一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，“域”【一般用表示】是比前面的群和環(huán)性質(zhì)更好的一種代數(shù)結(jié)構(gòu)。 域：首先是一個(gè)集合，并且在它上面我們定義了加法和乘法這兩種代數(shù)運(yùn)算，滿足如下...
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正規(guī)子群，單群和導(dǎo)群
我們之前以及介紹了群的基本概念，于是我們接下來想要研究群的結(jié)構(gòu)。這節(jié)我們會(huì)涉及到一些種類的群。 共軛元素和共軛子群①共軛元素，設(shè)為一個(gè)群,為群中的元素，我們把稱為在作用下的共...
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環(huán)的理想，素理想和極大理想
環(huán)的定義：我們知道，環(huán)是一個(gè)非空集合,在上面有著兩種預(yù)算，我們稱為加法和乘法. 并且滿足是一個(gè)交換群，是一個(gè)半群，除此之外，乘法對(duì)加法滿足左分配律和右分配律。 注：因?yàn)榄h(huán)對(duì)于...
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Sylow定理及其應(yīng)用
(Sylow第一定理) 設(shè)群 的階為 ，其中 為素?cái)?shù)，。 則對(duì) ， 中必有 階子群，其中 階子群稱為 的 Sylow -子群。 (Sylow第二定理) 設(shè)群 的階...
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芝諾悖論與無窮級(jí)數(shù)
一、芝諾悖論 首先我們先對(duì)“悖論”這一名詞做一解釋，何為悖論？悖論就是從“正確”的前提出發(fā)，經(jīng)過“正確”的推理過程，得出荒謬的結(jié)論。所謂“正確”不過是不容易察覺的邏輯漏洞。因...
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Minkowski不等式
Minkowski不等式 定義：在數(shù)學(xué)中，閔可夫斯基不等式（Minkowski inequality）表明空間是一個(gè)賦范向量空間。設(shè)是一個(gè)測(cè)度空間，，那么，我們有： 如果，等...